Леонардо да Винчи (1452 - 1519) БИОГРАФИЯ и ТВОРЧЕСТВО

Часть первая. МЕХАНИКА - Глава 2. ФЕОДАЛИЗМ

§ 3. Конкретная механика и трактаты Иордана Неморария

Произвести коренную переработку античного научного наследия, вырастить корни новой науки было суждено западноевропейскому феодализму, возникшему на другой почве, более медленно и постепенно, а потому, может быть, и более органически развивавшемуся.

Если мы попытаемся сравнить науку раннего западного феодализма с наукой арабской, то мы убедимся в том, что между ними имеется немалое сходство. Мы встретим здесь то же стремление создать собственное научное мировоззрение при недостаточном импульсе к коренной переработке всего завещанного предыдущими культурами, результатом чего является использование основных понятий и формулировок, заимствованных у античной науки, и приспособление их — путем комментариев, иного расположения материала, новых акцентов — к новым вкусам и запросам. Мы встретим ту же суховатую и абстрактную игру логическими категориями, как бы заимствованными из античной науки, но приобретающими совсем иные смысл и значение. Мы встретим, наконец, то же непонимание сути всей античной науки и элементы алгебраизации — правда, выраженные значительно менее ярко, чем в арабской науке.

Феодализм создавал научные построения, наиболее адекватные своим запросам, но самый характер этих запросов был таков, что на их почве не могли вырасти основы новой науки. Глубокий разрыв между правящей верхушкой и основным производительным населением не давал возможности и не требовал создания системы, основанной на философском осмыслении природы, ее явлений и законов, — системы, подобной той, которую создала античность. Он требовал в первую очередь анализа, отражения, оправдания нового социального порядка, создавал религиозно-этические системы вместо систем естественно-научных. Но и в рамках этих, в основном религиозно-этических построений познание внешнего мира оставалось обязательным и необходимым. На Западе оно находило свое отражение в наивных, и неуклюжих компиляциях энциклопедий Исидора Севильского, Рабана Мавра или длинной цепи последующих сочинений аналогичного характера; оно сколачивало из осколков античного научного здания хижину по своему вкусу, по своим потребностям. Но напрасно мы стали бы искать в этих своеобразных пестрых фолиантах хотя бы упоминание о механике. Теоретическое осмысление технических процессов, лежащее в основе всей античной механики, было еще глубоко чуждым новой обстановке, новой культуре, вполне довольствовавшейся элементарными сведениями о явлениях наиболее простых.

Механика начинает пробивать себе дорогу в научной литературе западного средневековья только тогда, когда в научном обиходе появляются переводы произведений античной науки и арабских трактатов. Нам неизвестно точно, когда именно и где были переведены псевдоаристотелевы "Проблемы механики", но, во всяком случае мы знаем, что в первой половине XIII в. император Фридрих II, поклонник и пропагандист античной и особенно арабской науки, в своем трактате "De arte venandi cum avibus" ("О соколиной охоте") цитирует "Проблемы механики", называя их "Liber de ingeniis levandi pondera" Ch. H. Haskins. Studies in the History of Medieval Science. Cambridge. Harvard Univ. Press., 1924, p. 316. Отсюда как будто следует, что к этому времени они имелись либо в латинском, либо в арабском, либо в еврейском переводе и были более или менее широко известны европейской науке.

Выше мы изложили три приписываемых Евклиду отрывка по механике, составляющих, по мнению Дюхема, единый античный трактат. Первый и третий из этих отрывков дошли до нас только в латинских переводах. Не подлежит почти никакому сомнению, что доказательства - примеры в отрывке "De gravi et levi" — продукт средневековой, а не античной науки, причем как истоки, к которым ведет рукописная традиция, так и самый характер изложения указывают с большой степенью вероятности на XIII в. как на время составления этих переводов-переделок. Подробно разобранный нами трактат "Книга Карастуна" Табита Бен-Курры, дошедший до нас в рукописях не старше XIV в., по-видимому, был переведен значительно раньше, возможно, в конце XII в., знаменитым переводчиком Гергардом Кремонским Р. Вuсhnеr. Ор. cit., p. 146. Правда, тонкие и замысловатые доказательства наиболее важных теорем трактата не были понятны переводчикам или переписчикам. Поэтому, пользуясь латинским переводом, приходится просто отказываться от возможности разобраться в содержании текста, местами пересказанного, а кое-где переданного слово за словом без проникновения в смысл передаваемого. Но факт широкой распространенности рукописей перевода и постоянное упоминание о трактате в средневековых научных произведениях доказывают, что трактат Табита Бен-Курры, хотя и не понятый до конца, усиленно читался и чем-то чрезвычайно импонировал. Это обстоятельство особенно бросится в глаза, если мы примем во внимание, что в XIII в. Вильгельм Мербеке переводит уже все основные сочинения Архимеда, в том числе и "Равновесие плоских тел", и что, несмотря на это, трактат Табита остается значительно более популярным. Явление это, вне всякого сомнения, не случайно. Оно закономерно вытекает из специфического подхода к материалу западноевропейской феодальной науки, который ясно предстанет пред нами, когда мы всмотримся в переделки и искажения, которым подвергались античные и арабские сочинения по механике со стороны латинских переводчиков.

В качестве первого примера такой переделки может быть приведен уже названный нами выше латинский перевод приписываемого Евклиду отрывка "De gravi et levi". Отрывок этот состоял в своем античном прототипе из нескольких аксиом, на которых затем строились все дальнейшие доказательства. К средневековому переводчику отрывок, может быть, попал уже отделенным от некоего целого. Не поняв всего стиля строгого античного доказательства с его немногими не доказываемыми аксиомами и постепенно выводимыми из них теоремами, он превратил формулировку нескольких аксиом и следствий из них в самостоятельный трактат, снабдив некоторые из аксиом и следствий чем-то вроде доказательства в виде наглядных примеров, которые, впрочем, мало что доказывают. <.P>

Так, например, констатация: "Если из двух тел одного и того же рода одно будет в несколько раз больше другого, то и сила его будет во столько же раз больше" Si duorura corporum ejusdem generis fuerit unum multiplex alterius et virtutem illius virtuti alterius similiter esse, очевидно восходящая к античному прототипу,

снабжается доказательством, в своей дошедшей до нас формулировке несомненно средневековым: "Например (рис. 10), пусть ag будет вдвое больше d; я утверждаю тогда, что сила ag, которая равна ей, вдвое больше d, которая равна f. Доказательство: разделим ag по величине на аb и bg, причем сила каждой из частей равна силе d, равной j; примем также, что ez есть сила аb, и получится, что zh есть сила bg, а, следовательно f будет удвоена" Verbi gratia: sit ag duplum d, dico ergo quod. potentia ag, que est eh, dupla sit, virtutis d, que est t. Racio dividemus ag secundum multiplicitateffl in ab et ez quorum ulriusque virtus est equalis virtuti d, que est /. Ponemus autem еz virtutem ab et remanebit zh virtus bg: erit ergo duplata f. Переделка античного текста на западной феодальной почве далеко не случайна. Она свидетельствует о том, что, воскрешая, переводя, комментируя античные тексты, схоласты не чувствовали самого их смысла, вырывали их из той связи, в которой они были созданы, и, рассматривая их как отдельные явления, переделывали их на свой лад.

He понимая не только самого построения системы доказательств, но и строго геометрического доказательства как такового, схоласты заменяют его наглядным примером. Отказываясь при этом от принятой античной механикой системы, они, с одной стороны, значительно снижают уровень научного доказательства, сводя его до грубо эмпирической констатации Именно так толкует весь научный подход схоластики Е. Цейтлин в своей ниже цитированной статье, обнаруживая некоторую однобокость, схематизм и недостаточно глубокое проникновение в источники, хотя высказывая при этом ряд ценных соображений; с Другой стороны, они обнаруживают способность к абстракции, может быть более высокого калибра, но принципиально иной, проявляющейся в стремлении установить связь между различными величинами путем изображения их в виде отрезков прямых. Так, в нашем примере отрезками прямых изображаются величина тела (или его вес) и сила, вызывающая определенное движение.

Путь этот, приведший затем к трудам Николая Орезма F. Вuсhnеr. Ор. cit, очевидно более отвечал всему умонастроению феодализма с его динамически-иерархическим мышлением, чем статический геометризм античной механики.

Специфичный подход средневековья к осваиваемому источнику сказывается в переводе арабской "Книги Карастуна" Табита Бен-Курры (XII—XIII вв.) не менее ярко, чем на примере античного текста. Первое, что мы здесь встречаем, это отмеченное выше и характерное, особенно для ранней схоластики, введение числовых примеров. Так, если арабский текст дает отвлеченную формулировку аксиомы, например изложенной нами выше первой аксиомы, то латинский переводчик прибавляет: "Приведу к этому пример. Скажу — из двух путников один проходит 30, а другой 60 миль в одно и то же время..." и т. д. Правда, не исключена возможность и того, что числовые примеры были введены в одной из арабских рукописей, с которой делался перевод, как это, несомненно, имеет место со вступлением и заключением. Однако то обстоятельство, что во всех сохранившихся до нас арабских рукописях примеры отсутствуют, а во всех латинских они налицо, достаточно говорит само за себя. Но переводчик не довольствуется вставкой примеров; он переделывает трактат и не столько переводит его, сколько пересказывает, сокращая текст, сохраняя лишь основные его части и выпуская добавочные теоремы и следствия. При этом он не замечает, что пропуск отдельных доказательств или частей их делает необоснованными следующие за ними и базирующиеся на них в арабском тексте положения. Пересказывает переводчик своими словами также наиболее сложные и основные теоремы трактата: о замене двух равных грузов на плече весов равным им и помещенным в середине между ними и о замене весомого стержня, помещенного на плече весов, равным ему весом, укрепленным в середине его. При этом как алгебраическое доказательство первой теоремы, так и геометрическое — второй оказываются слишком трудными для понимания переводчика, который, правильно передавая мысли, делает грубейшие ошибки в отдельных элементах доказательства. Но эти ошибки не вытекают, как можно было бы предположить и как обычно утверждается, из безграмотности переводчика или переписчика.

Причина ошибок заложена более глубоко. Переводчик, не удовлетворенный слишком большой, часто нарочитой сложностью доказательств арабского трактата, его несомненным и столь характерным для а рабской науки вообще любованием тонким кружевом мысли, отвлекающим его от непосредственной сути дела, пытается во что бы то ни стало упростить доказательство, найти более прямые пути, приводящие к тем же результатам. Но так как при этом он не хочет отступать и от основного ход мысли подлинника, то неизбежно впадает в ошибку. Особенно ярко это видно на примере второй из названных выше теорем являющейся центральной частью всего трактата. Пытаясь сначала следовать за мыслью автора и итти, подобно ему, путем приведения к абсурду, переводчик уже в середине очень длинного и сравнительно сложного доказательства переходит к прямому методу, чтобы в конце опять вернуться (совершенно нелогично) к тексту подлинника Сравнение латинского перевода и арабского подлинника .

Но одним только переводом-переделкой трактата Табита Бен-Курры западная наука не ограничивается; она пытается продолжить его, дополнить в желательном для нее направлении. В рукописях, содержащих трактаты по механике, уже начиная с XIII в., встречается наряду с другими сочинениями и фрагментами небольшой трактат "De canonio". Описавший, но, к сожалению, не издавший этот трактат Дюхем считает его переводом эллинистического сочинения; мы, по ряду соображений, считаем его, несомненно, средневековым, причем, как справедливо указал Дюхем, не прошедшим через арабскую науку, а самостоятельным Р. Duhem. Origines, vol. I., pp. 93—97, Весь трактат . Трактат этот заключает в себе развернутое доказательство последней теоремы "Книги Карастуна", определяющей, какой груз надо подвесить на меньшем плече весов, чтобы уравновесить излишек веса большего плеча. Не давая доказательства предыдущих теорем, из которых вытекает данная теорема, автор трактата отсылает читателя в отношении этих теорем к сочинениям Евклида и Архимеда, а затем почти дословно повторяет доказательство Бен-Курры. Но не в этом доказательстве и не в следующем за ним доказательстве обратной теоремы основной интерес небольшого трактата, — нам интересны третья и последняя теорема. Здесь автор трактата графическим путем находит цилиндр того же диаметра и из того же материала, что и коромысло весов, который бы весил столько же, сколько весит находимый в первой теореме груз, компенсирующий излишек веса большего плеча.

При этом автор рассуждает следующим образом: "Пусть (рис. 11) ab — коромысло весов и g — точка подвеса их. Отделим на большем плече gb часть gd, равную меньшему плечу ga, и из точки d восстановим перпендикуляр к ab, длина которого de будет равна длине остатка большего плеча bd. Соединим затем точки аe и продолжим линию ае до пересечения с перпендикуляром к ab в точке b; тогда длина аz будет искомой длиной, что легко определяется из доказанной в первой теореме формулы подобия треугольников abz и ode.

Найдя же столь легкий графический способ определения длины плеча, равной по весу грузу, уравновешивающему излишек большего плеча, автор применяет его для нахождения точки подвеса при известном постоянном грузе, т. е., пользуясь формулой, выведенной для римских весов с неподвижной точкой подвеса, подходит к способу определения веса на безмене с перемещающейся точкой подвеса.

В приведенном выше доказательстве мы встречаемся с той же тенденцией, которую мы отмечали, говоря о переводах трактата "De gravi et levi" и трактата о "Карастуне", — с тенденцией переосмыслить переводимый или комментируемый текст, подать его так, чтобы он больше отвечал вкусу окружающе комментатора или переводчика действительности. Но не только тенденция переделки роднит "De canonio" с ранее рассмотренным средневековым материалом, а и самые пути этой переделки. Не чувствуя и не понимая всего построения античной механики и специфики ее доказательств, схоласты вырывают их из общей связи, рассматривая каждое из них в отдельности, и создают столь узко монографические трактаты, как "De canonio". He-понимая замысловатого, но по-своему также весьма стройного алгебраического доказательства арабов, схоласты стремятся упростить его. При этом, обладая довольно изощренным логическим аппаратом и привычкой к весьма абстрактному мышлению, развившейся при выработке своеобразной иерархически теологической картины мира, они пытаются найти новые формы доказательства, менее, по их мнению, искусственные, более легко приводящие к результату. На этом пути они находят ряд новых элементов, примером каковых может служить хотя бы примененный весьма удачно в "De canonio" способ графического изображения непротяженных величин (веса), приводящей к быстрому решению довольно сложной задачи.

Однако все рассмотренные выше переделки и переводы сочинений античности и магометанского мира являются только, подготовительными этапами к созданию оригинальных произведений, в которых специфические черты уже вполне зрелой феодальной научной мысли выступают с наибольшей ясностью, Таковы относящиеся, очевидно, к концу XIII в. механические произведения, широко распространенные в течение двух следующих веков и приписываемые Иордану Неморарию.

Несмотря на исключительно тщательные и хитроумные розыски и домыслы Дюхема, до сего времени не удалось сколько-нибудь достоверно установить, где и когда жил этот ученый, оставивший после себя ряд интересных математических сочинений и в числе их трактаты по механике, представляющие собой высшую ступень, которой средневековая схоластическая наука Достигла в области разработки конкретных вопросов этой науки.

Проблема литературного наследия Иордана Неморария представляет собой сложную и запутанную проблему не только потому, что сам автор абсолютно неизвестен, но главным образом оттого, что он считался создателем нескольких произведений, рассматривающих один и тот же вопрос, но глубоко между собой различных. Произведения эти можно условно разбить на три группы, причем Дюхем считает, что собственно Иордану принадлежат только трактаты первой группы, наиболее короткие и отличающиеся, как мы увидим ниже, рядом серьезных ошибок. Трактаты второй группы он считает вышедшими из-под пера другого, уже совершенно, даже и по имени не известного автора и представляющими собой перипатетическую переделку оригинального трактата Неморария. Наконец, трактаты третьей группы, наиболее подробные и стоящие на наибольшей научной высоте, он приписывает третьему автору, которого он называет "предшественником Леонардо да Винчи" ввиду значительного числа совпадений между этим трактатом и сочинениями Леонардо. При этом, по его мнению, большая часть последнего трактата восходит к античности Вопросу о филиации различных редакций трактатов, ходивших под именем Иордана, посвящена значительная часть тома I , к каковой Вайлати, не делающий вообще никакого различия между редакциями, относит их все Q. VaiIati. II principio del lavori virtual! da Aristotele a Erone. Atti R. Accad. d. sc. di Torino, vol. 32, 1896—1897, pp. 951—958. Значительно проще объясняет наличие этих резко друг от друга отличающихся, но приписываемых Иордану трактатов Р. Марколонго R. Marcolongo. La meccanica di L. d. V., cit., pp. 12—24, считающий оригинальным текстом Иордана последний, приписываемый Дюхемом мифическому "предшественнику Леонардо да Винчи", а два других варианта — искажениями, вышедшими из мастерских малограмотных писцов, не понявших довольно сложного текста переписываемого сочинения и потому переделывавших его в меру своего понимания предмета. Разумеется, что в пределах настоящей работы мы не имеем возможности заниматься разрешением столь сложного и запутанного вопроса, как филиация трактатов, приписываемых Иордану, да для нашей цели этот вопрос и не имеет серьезного значения. Считая наиболее правдоподобной гипотезу Марколонго, мы, однако, полагаем, что самый факт параллельного существования в рукописной традиции трех вариантов трактата, читавшихся и переписывавшихся самостоятельно и притом восходивших к XIII в., говорит о том, что, независимо от вопроса авторства, они могут и должны рассматриваться как самостоятельные произведения, сыгравшие очень значительную роль в развитии механики. Неопровержимым, как нам кажется, подтверждением этого является то, что все три варианта были изданы уже после изобретения книгопечатания, в печатном виде, в XVI в.; при этом первые два варианта — текст, приписываемый Дюхемом собственно Иордану, и текст так называемого "перипатетического комментария" изданы Петром Аппианом в 1533 г. Liber lordani Nemorarii viri clarissimi de ponderibus; propositiones XIII et earundem demonstrations, multaru que rerum rationes sane pulcherrimas cornplectens, nunc in lucem editus. Cum grati a et privilegio Imperiali, Petro Apiano Mathematico Ingolstadiano ad XXX annos concesso. M.D. XXXIII... Explicit: Excusum Norimbergae, per, lo. Petrum Anno domini MDXXXIII, а последний, извлеченный из рукописного наследия крупнейшего математика и механика XVI в. Николая Тарталья, с добавлением некоторых других материалов издан Курпием Троайном в 1565 г. lordani opusculum de ponderositate Nicolai Tartaleae studio correctum novisque figuris auctum. Cum privilegio. Venetiis. Apud Curtium Troianum, MDLXV. Обе эти небольшие книжки, переплетенные вместе еще, очевидно, в конце XVI в., имеются в Гос. Публичной библиотеке им. Салтыкова-Щедрина в Ленинграде и были любезно представлены нам дирекцией Библиотеки для подробного изучений.

Пользуясь названными выше изданиями и, насколько возможно, отделяя в первом из них один текст (по Дюхему — текст Иордана) от второго (по Дюхему — "перипатетического ком- ментария"), мы изложим один за другим, по возможности кратко, все три трактата, известные под именем трактатов "De ponderibus" и приписываемых Иордану Неморарию.

Выше мы видели, что в средневековом обиходе находились следующие произведения, посвященные специально механике: псевдоаристотелевы "Проблемы механики", целиком основанные на перипатетическом учении о движении; приписываемые Евклиду отрывки, первый из которых — трактат "De gravi et levi" представляет собой развитое положение перипатетического учения о движении, и, наконец, "Книга Карастуна", как мы показали, также базирующаяся на том же учении. Естественно поэтому, что средневековая механика в своих оригинальных сочинениях пошла по тому же пути, т. е. начала строить свое здание на основных формулах движения, заимствованных из "Физики" Аристотеля.

Второй из перечисленных нами выше вариантов, трактат Иордана Неморария, названный Дюхемом "перипатетическим комментарием" к основному тексту Иордана, и представляет собой попытку построить всю механику исключительно на законах движения, установленных Аристотелем. При этом мы отнюдь не считаем неправдоподобным предположение, что именно "перипатетический комментарий" является первичной, основной формой трактата, а не переделкой, как утверждает Дюхем.

Трактат начинается с предисловия, в котором устанавливается, что наука о весе (scientia de ponderibus) подчинена как геометрии, так и натуральной философии, почему в ней надлежит пользоваться как геометрическими, так и физическими доказательствами. Уже из этого начала, чрезвычайно сильно напоминающего начало "Проблем механики", явствует, что последнее произведение является прототипом трактата. Затем следует изложение ряда основных положений, на которых базируется все дальнейшее изложение. Первое, второе и третье из этих положений, напоминающие по ходу мысли "Книгу Карастуна", гласят: 1) плечо весов, опускаясь, описывает дугу окружности, радиус которой всегда равен длине плеча; 2) в одной и той же окружности большая дуга более закруглена, чем меньшая, и, наоборот, в разных окружностях из разных дуг больше закруглена меньшая; 3) вес на весах тем легче, чем больше он опускается по дуге. На этой основе вводится понятие веса по положению (gravitas secundun situm), во всем дальнейшем изложении являющееся основным. Объяснение связи веса и дуги, по которой он движется, в точности повторяет объяснение "Механических проблем", т. е. сводит движение конца весов по дуге к взаимодействию двух сил — естественной, направленной вниз, я насильственной, направленной по радиусу. Затем следуют пространные рассуждения о весе и движении, после чего идет заключение, которое мы считаем настолько важным, что приводим его полностью:

"После того как это разъяснено, следуют положения книги о весах; называются же они положениями потому, что этой наукой они не должны доказываться, но принимаются; доказательства же некоторые из уже приведенных вообще не имеют, как это выяснится позже. Таких положений имеется семь. Первое: движение всякого весомого тела направлено к середине (мира, т. е. земли). Второе: чем тяжелее, тем скорее падение. Третье: тяжелее при падении настолько, насколько движение к середине прямее. Четвертое: по положению тяжелее настолько, насколько на том же расстоянии опускание менее наклонно. Пятое: более наклонное падение менее берет от прямой при том же количестве. Шестое: одно менее тяжело, чем другое, по положению, настолько, насколько опускание второго происходит в обратном направлении. Седьмое: горизонтальное положение есть положение равноотстояния от горизонта. Все это достаточно ясно из вышесказанного, почему можно перейти к предложениям, которые называются предложениями потому, что они предлагаются, чтобы быть доказанными. Их имеется тринадцать" Istis igitur notis, sequuntur suppositions libri ponderum et dicuntur suppositiones, quia per istam scientiam non debent probari sed supponuntur, probari tamen ex jam dictis quaedam indigent probatione. sicut post apparebit. Sunt itaque suppositiones septem. Prima est: omnis ponderosi rootum ad medium esse. Secunda: Quanto gravius, tanto velocius discendere. Tertia: Gravius esse in descendendo, quanto ejusdem motus ad medium est ´ectior. Quarta: secundum situm gravius esse, quanto in eodem situ minus obliquus est descensus. Quinta: obliquiorem autem descensum minus capere <le directo, in eadem quantitate. Sexta: Minus grave aliud alio esse secundum siturn. quanto descensus aliierius consequitur contrario motu. Septima: Situm aequalitatis esse aequidistantiam superficiei orizontis. Omnes autem suppositiones sunt satis manifestae, sicut palet per praedicta, et ideo pro-positiones pro-equilicet, et dicuntur propositiones, quia ut probentur proponuntur. Sunt itaquae tredecim.

В изложенном отрывке предисловия содержится implicite весь трактат. Характерно, во-первых, здесь то, что автор строго различает не подлежащие доказательству аксиомы, которые он и формулирует, от подлежащих доказательству теорем, составляющих собственно содержание трактата. Это свидетельствует уже о значительно более высокой математической культуре, чем отмеченная нами в рассмотренных выше переводах-переделках. В самых аксиомах для нас важно и характерно то, что в них все движение на весах сводится к формуле естественного движения — пропорциональности между скоростью и весом (первая аксиома), как это сделано и в "Проблемах механики", а не к формуле движения приобретаемого, как в приписываемых Евклиду отрывках и в "Книге Карастуна". Основными для всего дальнейшего изложения являются аксиомы третья — четвертая, почти однозначные, и пятая. Аксиомы эти устанавливают, во-первых, что тело тем тяжелее, чем менее наклонно Под величиной наклонности подразумевается здесь, как и всюду, величина проекции на горизонтальную ось его движение; во-вторых, что более наклонное движение, будучи спроектировано на вертикальную прямую, занимает на ней меньший отрезок, чем менее наклонное движение той же длины. Из этих двух аксиом легко выводится все дальнейшее.

В своей совокупности аксиомы формулируют то понятие "тяжести по положению" ("gravitas secunduin situm"), введение которого в механику и составляет отличительную черту всех сочинений, приписываемых Иордану. Понятие это отнюдь не должно смешиваться с понятием собственно тяжести, естественной тяжести любого тела: оно обозначает изменения, которые при том или другом движении претерпевает естественный вес тела, т. е. приобретает смысл и оправдание только при рассмотрении движений. Впрочем, как сказано в предисловии трактата, оно может быть распространено и на случаи покоя, ибо покой есть, собственно говоря, предельный случай движения. Дюхем и за ним ряд последующих историков науки считают введение понятия "gravitas secundum situm" крупным прогрессивным шагом. Мы же серьезно сомневаемся в правильности этого утверждения. Понятие это, во всяком случае в том виде, в каком оно встречается в первых двух вариантах трактата Неморария,. представляется глубоко искусственным и выдуманным "ad hoc", как переходное звено между конкретными теоремами механики и формулировками законов движения, данными Аристотелем; оно обеспечивало стройность всего доказательства, но не соответствовало ничему реальному.

Первые теоремы являются не чем иным, как развернутой формулировкой некоторых аксиом Не имея доступа к рукописям, мы не можем установить, не является ли первые две теоремы вообще чужеродными телами в нашем тексте, что судя по содержанию, кажется нам вероятным. Так, первая формулирует несколько более полно утверждение первой аксиомы о пропорциональности скорости движения вниз весу, утверждая, что между скоростями двух движущихся в одном направлении тел существует та же пропорция, что и между весами, а между скоростями двух движущихся в противоположном направлении тел — пропорция обратная. Вторая теорема доказывает, что при помещении на весах, находящихся в горизонтальном положении равных грузов (о равных плечах не говорится ничего), весы не выйдут из горизонтального положения, а если будут выведены, то вернутся в него. Первая теорема в своих обеих частях совершенно явственно следует из первой аксиомы; вторая же теорема в своей первой части вообще не доказывается — говорится просто "primum patet quia sunt aeque gravia", во второй же части сводится к четвертой аксиоме, ибо, если вывести (рис. 12) весы bс в положение b´c´, каждый из грузов b´ и с´ будет стремиться вниз, а так как груз с´ будет пускаться по кривой менее наклонно, чем груз b´ (из двух дуг равного радиуса та более наклонная, которая длиннее), весы вернутся в первоначальное положение горизонтальности.

Третья теорема, подобно второму псевдоевклидову отрывку доказывает, хотя и совсем другим методом, что разные длины подвесов не влияют на равновесие весов. в собственном смысле слова здесь отсутствует и заменено просто отсылкой ко второй аксиоме. Доказывается теорема так: если будет движение в одной стороне, следовательно другая сторона менее тяжела по второму положению, — но принято, что веса подвешенных (грузов) равны, следовательно доказано то, что искалось Probatur sic: si fiat motus in una parte, ergo pars alia est minus gravius per suppositionem secundam, sed positum est prius appenensorum pondera esse aequalia, ergo.

Лаконической отсылкой к четвертой аксиоме доказывается и четвертая теорема, гласящая, что если любой груз опускается в любую сторону, то он становится более легким "по положению".

Пятая теорема, повторяя одну из аксиом Архимеда доказывает, что при равных весах на неравных плечах более длинное плечо будет опускаться. Доказательство опять сводится к построению на плечах, как на радиусах, частей окружности, причем большее плечо будет описывать большую окружность, а так как при разных радиусах дуга большего радиуса прямее, а на более прямой дуге груз "по положению" тяжелее по третьей аксиоме, то теорема доказана. Точно таким же рассуждением доказывается и шестая теорема о том, что если грузы равно весят (очевидно, "по положению") на неравных плечах весов и более отдаленный приблизить к центру, то он станет легче "по положению".

Особое значение для нашей темы и для развития механики имеет седьмая теорема. Мы видели, что уже Герон, по-видимому, совершенно не известный в XIII в., ставил и правильно разрешал вопрос о равновесии криволинейного рычага; этот вопрос получил правильное решение и в одной из вставных теорем "Книги Карастуна". Теорема, правда, не вошла в латинские переводы и потому также, по-видимому, или совершенно не известна западной науке XIII в. или мало распространена в ней. Иордан ставит по существу тот же вопрос совершенно иначе. Он спрашивает, каковы будут условия равновесия на равноплечих весах, один из подвесов которых будет свободно вращаться вокруг точки своего укрепления, а другой неподвижно соединен с этой точкой, причем на концах подвесов будут укреплены равные грузы. Отвечает он так: груз, укрепленный на подвижном подвесе, будет более тяжелым "по положению", так как вследствие отклонения подвеса он будет описывать большую окружность.

В разборе трех вариантов трактата Неморария Дюхем, старающийся всеми возможными средствами опорочить первые два и выхвалить третий, считает это утверждение неправильным со всех точек зрения, ибо рассматриваемый здесь Неморарием случай сводится к равновесию криволинейного рычага: если подвес bd (рис. 13) будет свободно вращаться, а подвес се будет неподвижно укреплен под прямым углом к плечу ас, то плечо ас и подвес се могут быть заменены плечом ае, направленным под определенным углом к первоначальному направлению плеча, а криволинейный рычаг, концы плеча которого одинаково удалены от вертикали, Проведенной через точку опоры, будет находиться в равновесии. Однако критика Дюхема основана на обычной для него модернизации рассматриваемого сочинения. Неморарий не сомневается, по-видимому, в том, что весы в том положении, как они изображены на чертеже, находятся в равновесии, но, как мы это видели выше, он, вполне последовательно строя все свои доказательства на аристотелевых законах движения, рассматривает все случаи равновесия на весах, находящихся в движении вокруг точки опоры. При таком рассмотрении приведенное утверждение оказывается правильным для случая подъема плеча весов, на котором укреплен подвижной подвес, и неправильным для обратного случая, так как при подъеме плеча аb груз d окажется действительно дальше от вертикали, проведенной через а, чем груз е, и равновесие на весах нарушится. Таким образом, для некоторого частного случая решение, данное трактатом, было правильным, а приводимое затем разъяснение ("Это предложение было выдумано по случаю некоего опыта, произведенного для доказательства второй части") Illa propositio fuit inventa de quodam experimento facto ad probationem partis´secundae с несомненностью говорит о том, что автор и имел в виду некий частный случай. Дальше же (возможно, что это и есть названная выше "pars secunda") чрезвычайно испорченный в печатном издании текст доказывает, по-видимому, что если оба подвеса вращаются, то при любом повороте весов равновесие в них не изменится, и грузы на них будут весить равно "по положению".

Восьмая теорема является, собственно говоря, центральной — она доказывает закон равновесия неравноплечего рычага и формулируется так: "Если плечи весов будут пропорциональны подвешенным грузам, так чтобы на более коротком висел более тяжелый, то они будут равно тяжелы по положению" Si fueriftt brachia librae proportionalia appensorum, ita, ut in breviori gravius appendatur, aeque gravia erunt secundum situm.

Доказательство и здесь ведется тем же путем, что и во всех приведенных выше теоремах: если грузы обратно пропорциональны длинам плеч, а последние являются радиусами окружностей, по которым они движутся, то груз, помещенный на большем плече, будет "по положению" ровно настолько же тяжелее груза, помещенного на меньшем, насколько это большее больше меньшего. Следовательно, если мы хотим добиться равновесия, мы должны взять настолько же меньшим естественный вес груза, помещенного на большем плече, по сравнению с естественным весом груза, помещенного на меньшем.

На восьмой теореме, очевидно, и кончается основной текст трактата "De ponderibus". Следующие пять теорем печатного и многих рукописных текстов составляют рассмотренный выше трактат "De canonio", причем к четырем из них ради симметрии вначале присоединены подобия вторых доказательств, долженствующие связать их с вышеприведенными, доказываемыми строго перипатетически восемью основными теоремами. Доказательства эти совершенно неубедительны, чисто формальны, а для основной теоремы, рассмотренной нами подробно выше, и вполне отсутствуют, из чего, равно как и из самого характера текста, с несомненностью явствует гетерогенность трактатов "De ponderibus" и "De canonio", которые автор дошедшего до нас во многих списках варианта трактата Иордана Неморария довольно искусственно соединил, желая создать значительное сочинение по механике.

Таким образом как самостоятельное целое тот вариант трактата Неморария, который Дюхем считает лишенным всякой научной ценности перипатетическим искажением основного текста, мы склонны считать если не обязательно первым и основным (для этого мы не имеем достаточных доказательств), то, во всяком случае, исключительно ценным и характерным для схоластической механики XIII в.

Действительно, мы видели, что в основе всех механических систем античности и арабского феодализма лежали формулы движения, данные в "Физике" Аристотеля и, очевидно, принадлежавшие к незыблемейшим общим представлениям, существовавшим в течение всего этого времени. В средневековую же традицию вошли именно те сочинения, в которых эта перипатетическая струя была выражена наиболее ярко, т. е. "Проблемы механики", приписываемые Аристотелю и построенные именно на его законах движения — псевдоевклидовы отрывки, первый и наиболее распространенный из которых являлся просто развернутым комментарием к одному из этих законов, и, наконец, "Книга Карастуна", на ярко перипатетический характер которой мы указывали. Участник создания феодального мировоззрения, идеалом которого било построение картины мира, полностью соответствующей той социально- политической структуре, к которой шло, но которой никогда не достигало феодальное общество, — картины мира, нашедшей себе наиболее полное выражение в эманационно-иерархической схеме мироздания, феодальный ученый старался, согласно всей направленности своего сознания, создать и систему механики, отвечающую тем же требованиям. Он не удовлетворяется наличием в фундаменте механики двух основных формул — формулы для движения естественного и формулы для движения приобретаемого, а старается свести все к первой, причем для облегчения этого сведения вводит понятие "тяжести по положению", сокращенно формулирующее данное "Проблемами механики" представление о взаимодействии двух сил, и из одной формулы и понятия "тяжести по положению" с безукоризненной логичностью выводит все известные к его времени законы механики. Как геометрический подход античных механиков, так и алгебраизация, внесенная арабами, ему чужды. Он подходит к предмету, как физик и активный борец за то метафизически-теологическое мировоззрение, которое в XIII в. приобретает свои классические формы. Так, казалось бы, в отвлеченнейшем произведении отвлеченнейшей из когда-либо существовавших наук, в конечном счете сказывается вызвавшее его к жизни общество. Сквозь строки сухой латыни можно чутким ухом услышать и шум двора рыцарского замка, и звон колокольни удаленного от мира монастыря, и унылую песню крепостного крестьянина, тянущего безнадежную лямку пожизненного, монотонного, полуживотного труда.

Второй вариант трактата "De ponderibus", который Дюхем, как уже сказано выше, считает первым и единственным вышедшим из-под пера Иордана, мы находим напечатанным в том же издании Петра Аппиана, где помещен и только что изложенный, За каждым доказательством теоремы после слов "sequitur aliud commentum" следует доказательство второго (или, по Дюхему, первого) трактата. Доказательства эти, по Дюхему - ясные, в дальнейшей рукописной традиции значительно усложняются и запутываются; в издании же Аппиана они усложнены еще более, чем в худших из рукописей, и судить по этому изданию о свойствах первоначального оригинала можно только с большой осторожностью.

Однако, ввиду того, что в нашу задачу отнюдь не входит анализ творчества Иордана как такового, и так как усложнение трактата шло в направлении, имманентно заложенном уже в оригинале, только ярче подчеркивая и выявляя его основную тенденцию, искажения первоначального текста не окажутся помехой в нашей работе.

Тенденция второго из разбираемых нами трактатов Неморария чрезвычайно ярка и подчеркнута. Исходя из того же основного понятия "gravitas secundum situm" и базируясь, по-видимому, на тех же, правда не сформулированных, аксиомах, что и в рассмотренном нами выше варианте, автор стремится вести все доказательство строго геометрическим путем, обильно ссылаясь при этом на Евклида и Архимеда. Недавнее знакомство с этими классиками александрийской науки, очевидно, вызвало в некоторых научных кругах XIII в. сильное увлечение их трудами и их методом, нашедшее отражение в настоящем варианте трактата Иордана. Правда, воспитанные на ранее усвоенных, чисто перипатетических работах и на сочинениях арабского средневековья, феодальные ученые, даже те, кто с увлечением занимался изучением творений великих александрийцев, вряд ли в какой-нибудь мере достигали сходства со своими прообразами. Совсем иная социально-политическая обстановка, неизгладимое влияние алгебраически направленных арабских сочинений неизбежно сказывались на творчестве западных механиков геометрической ориентации, которые в XIII в. пытались воссоздать стройные и гармоничные произведения III в. до н. э.; сказалось это и на геометрическом варианте трактата Неморария.

Доказательства этого трактата, как мы уже отмечали, строго геометричны. Стремясь доказать те же положения, которые, и притом гораздо логичнее, доказываются в перипатетическом варианте в немногих словах, сводящих любую задачу к основной формуле движения, данный трактат бесконечно подробно разбирает равенства и подобия треугольников, соотношения между дугами окружностей и стягивающими их хордами и пр. и по существу топчется на одном месте, не доказывая, а только формулируя сложнейшим геометрическим языком и без того ясные положения. Было бы невозможно и излишне приводить все длиннейшие и запутаннейшие доказательства трактата. Мы поэтому ограничимся тремя из них, кажущимися нам вполне характерными, теоремами — первой, третьей и восьмой.

Первая теорема (являющаяся излишней в перипатетическом варианте, ибо в нем она повторяет аксиомы, изложенные в предисловии) во втором варианте, не имеющем предисловия, является основной. Она весьма пространна и может быть поэтому пересказана только со значительными сокращениями. Приведем ее формулировку: "В любых двух весомых телах пропорция между скоростями опускания и весами прямая, а если взять опускание и противоположное движение, пропорция та же, но обратная" Inter quaelibet duo gravia est velocitas descendendo propriae, et ponderum eodem ordine sumpta prpportio, descensus autem, et contrarii motus, proportio eadem, sed permuntata.

Доказательство этого положения, в котором "implicite" заложено все дальнейшее, о чем, как мы увидим ниже, догадывается и сам автор, ведется следующим образом.

Пусть вес а (рис. 14) опускается из а в с, а вес b — из b в d. Требуется доказать, что a/b=ac/bd. Допустим, что наше предположение неправильно. Допустим также, что а больше b на е и ас больше bd на f, (подробнейшее доказательство этого с обильными ссылками на Евклида и Архимеда дается в конце теоремы особо). А так как f есть опускание е, то полученное нами неравенство противоречит нашему предположению, что отношение весов меньше отношения опусканий, а, следовательно, предположение это было сделано неправильно. Таким же образом приводится к абсурду и противоположное предположение и доказывается первая часть теоремы, из которой как следствие выводится и вторая часть, ибо ясно, что подъем равен и противоположен опусканию, а, следовательно, отношение между весами подымающихся и опускающихся грузов обратно пропорционально скоростям их опускания или же проходимым ими путям, так как, подобно большинству разобранных нами выше источников, наш трактат не делает различия между скоростями и длинами путей, проходимых в одно и то же время.

Доказав, таким образом, свою теорему, автор, однако, замечает, что доказательство его является недостаточным для выведения из него дальнейшего; поэтому он считает необходимым дополнительно истолковать основные понятия, которые фигурируют в первой теореме и которые в дальнейших доказательствах применяются несколько в другом смысле (напомним еще раз, что предисловие в этом варианте отсутствует). Первое и, пожалуй, главное здесь то, что опускание понимается не как естественное падение в какой-нибудь среде, а исключительно как опускание груза, укрепленного на одном конце весов, другой конец которых поднимается вследствие опускания первого. "Большая (посылка) должна определять не движение весомого тела, предоставленного собственной природе, а движение весомого тела на весах, при наличии сопротивления весомого тела, помещенного на другом плече весов" Sed major поп habet determinare de motu gravis relicti propriae eaturae, sed de motu gravis in aequilibri cum resistentia gravis positi in alio brachio aequilibris. Далее: нельзя рассматривать веса без учета длин плеч, ибо мы имеем здесь дело соотношением всей силы на одном конце весов со всем сопротивлением на другом конце, в соответствии с каковым соотношением и изменяются скорости движения концов весов.

"Почему необходимо заметить следующее: доказательство не должно понимать так, что как опускание а относится к опусканию b, так весь вес а просто и по положению относится ко всему весу b просто и по положению, и это надлежит строжайшим образом различать.

Ибо это правильно только тогда, когда таково же отношение всего веса я ко всему весу b, каково оно между всей силой а или его сопротивлением и всей силой b при его сопротивлении. И согласно этому изменяются скорость и опускание, и иначе высказанное автором не будет иметь силы" Unde ideo notandum quod non potest sic intelligi conclusio, quod sicut descensus a ad descensum b, ita tota gravitas a simpliciter et secunduffl situm, ad totam gravitatem b simpliciter et secundum situm, et hoc debet strictissime intelligi. Nam hoc non est verum nisi quando eadeni est proportio totius gravitatis a ad totam gravitatem b, quae est totius potentiae a super suam resistentiam, et ad potentiam b super suam resistentiam, et secundum hoc variaretur velocitas et descensus, aliter non valeret propositio autoris.

Так (рис. 15), если мы будем рассматривать весы bacd и подвесим на левом плече один и тот же вес g сначала в с, а затем в d, то хотя эти грузы естественно (от природы) равны, но один будет опускаться по дуге окружности радиуса da, а другой по дуге окружности радиуса са, а так как длины дуг относятся как радиусы окружностей, то вес груза g, подвешенного в положении d, будет относиться к весу того же груза, подвешенного в положении с, как da к са, а, следовательно, равные грузы будут весить разно в разных местах весов. Кроме того, g, будучи помещен в с, будет уравновешиваться некоторым грузом b на другом конце весов, а будучи помещен в d — некоторым другим грузом c, отношение которого к первому будет также равно отношению са к da; следовательно, разные грузы в одном месте будут уравновешивать равные в разных местах. Из этого вытекает, что веса в данном доказательстве и в дальнейшем изложении должны рассматриваться не сами по себе, а в связи с длинами плеч, на которых они укреплены, так что если мы правильно разберемся в этой связи, то поймем все дальнейшее: "Sic igitur intelligendo conclusionem procedit propositio autoris, aliter non".

Здесь автор спохватывается, что он все говорит о длинах путей и ничего не говорит о скоростях, с которыми он как истый перипатетик оперирует в основной формулировке теоремы. Поэтому он доказывает, что так как движения gbd и gbc соответствуют движению b и е, помещенных в одной точке, то они происходят в одно и то же время, причем доказывает это столь сбивчиво, что сам затем выражает сомнение в убедительности доказательства, но считает, что оно не так важно:

"Если же это доказательство не будет убедительным, неважно. Является ли скорость пропорциональной или нет, нужно только, чтобы если g в d достаточно для поднятия е, то g в с было достаточным для поднятия b. И уже первое предложение текста Иордана имеет другую формулировку: в любых весомых телах пропорция между скоростями и весами одна и та же — прямая" Si autem istud argumentum non faciat fidem, non est cura, tantum quod velocitas sit proportionalis vel non, durn tamen sequatur: si g in d suffieit levare е, quod g in с sufficit levare b. Et jam prima conclusio textus lordani habet aliam literam scilicet, quod inter qualibet gravis sit veloci-tatis et ponderis eodem ordine sumpta proportio.

Во всем приведенном длинном рассуждении мы ясно видим стремление найти переход от аристотелевой формулировки закона естественного движения к закону рычага, свести последний к первому. В то время как в первом, чисто перипатетическом варианте переход этот давался путем простого постулирования существования "gravitas secundum situm", зависящего от наклона или изгиба кривой, по которой груз движется, — в данном варианте мы видели попытку доказать то же самое что невозможно, Противоречия в рассуждении замечает и сам автор трактата, пытаясь, однако, настаивать на том, что если правильно разобраться в понятиях, то все возражения противников отпадают.

Третья теорема, как мы видели выше, гласит, что различие в длине подвесов не влияет на равновесие весов; теорема эта не доказывалась, а просто как бы разъяснялась в перипатетическом варианте; здесь же доказательство ее достаточно сложно и пространно. Пусть, гласит доказательство, дан (рис. 16) стержень abc, центр которого а, и из двух подвесов bd и се первый короче второго, на концах же их укреплены равные грузы d и е. Пусть afq будет вертикальная линия, проведенная через середину а стержня abc, a df и ge — линии, параллельные abc и соединяющие концы подвесов с названной вертикалью. Из точек f и q как из центров мы проводим четверти окружностей радиуса df = qe, каковое равенство подробно доказывается сведением к 34-й теореме первой книги Евклида (per tricesimam quartam primi Euclidis). Из этого же равенства следует, что и самые четверти окружностей равны, а из этого — то, что опускается по построенным им дугам, и возвращается к доказательству этого утверждения. Из точки а как из центра проводим половину окружности bтnс и предполагаем, что b будет опускаться до т, а с до n, и от точек т и n (печатный текст в этом месте несколько испорчен) проводим линии mh и nk, параллельные вертикали afg, до пересечения с ранее построенными четвертями окружностей. Затем, путем сложного рассуждения, доказывается, что bо так относится к от, как dp к ph, а так как bо и dp равны, то от и ph тоже равны, а из этого выводится, что bd равно mh, так как ор равно bd. Поэтому, когда b будет в т, d будет в h, и, следовательно, b и d будут всегда находиться в одинаковых точках дуги. То же и таким же образом может быть доказано относительно с и е, а, следовательно, доказано и то положение, которое казалось недостаточно обоснованным. После этого геометрического доказательства, изложенного нами со значительными сокращениями, следует весьма любопытная и уводящая нас совсем в другую сторону, очевидно гетерогенная основному тексту, оговорка, что вышеприведенное доказательство базируется на допущении подвесов, параллельных вертикали; фактически же они направлены в одну точку — центру земли, т. е. не вполне параллельны; но так как подвесы весьма не велики по сравнению с большой величиной расстояния до центра, то непараллельностью этой можно пренебречь.

Восьмая, как мы уже говорили — основная, теорема содержит доказательство закона рычага: обратной пропорциональности длины плеч и весов. Доказывается она следующим образом.

Пусть bас (рис. 17) будет коромыслом весов, на концах которого укреплены грузы b и с, причем b так относится к с, как са к аb. Требуется доказать, что при этом условии весы находятся в равновесии. Предположим, что это не так и что конец коромысла b поднимается в точку d, а конец с опускается в точку е. Опускаем из точек d и е перпендикуляры на прямую bас и по 29-й и 15-й главам первой книги Евклида получаем два подобных треугольника adb и aef, а из этого по четвертой главе шестой книги Евклида da так относится к ае, как db к ef. Но da так относится к ае, как вес с к весу b, следовательно db так относится к fе, как вес с к весу b. На прямой dae отложим затем ag, равное ае, и из g опустим перпендикуляр gh на прямую bас в поместим в h вес, равный весу с. Тогда, так как ga и ае равны, то по четвертой главе шестой книги Евклида gh и fе также равны, а так как веса с и h равны по заданному, то, следовательно, подставляя в предыдущее равенство вместо fe — gh и вместо с — h, получим, что db так относится к gh, как вес h к весу b. Придя к такой пропорции, мы рассуждаем так (arguitur sic): при перемещении bас в dae точки b и h будут двигаться по окружностям диаметров bа и ha=ca, а, следовательно, веса грузов d и g "по положению" будут относиться между собой, как диаметры окружностей их движения, так как b будет описывать большую окружность, чем h. Но мы только что доказали, что отношение естественных весов b и h равно обратному отношению ha к bа, а из сравнения двух этих равенств следует, что грузы b и h, будучи помещены на расстояниях, обратно пропорциональных своим естественным весам, будут на весах равно весить, ибо меньший груз будет "по положению" увеличиваться ровно настолько, насколько он раньше был меньшим. Из этого же следует, что, будучи помещены в указанном положении на коромысле весов, грузы b и h равны по своему действию, и тот вес, который может поднять b, может поднять h. Мы же предположили, что груз с поднимает b, а, следовательно, груз с подымает и h, что невозможно, так как, по условию, с и h равны и расположены на равных расстояниях от d, по второй теореме настоящего трактата. Доказав таким образом то, что требовалось, автор, по-видимому, не удовлетворяется своим рассуждением, начиная с того места, где оно теряет чисто геометрический характер, и предлагает другое, более простое: "aliter potest argumentari secundum communiter loquentes" — отношение веса h к весу b равно отношению подъема b (bd) к подъему h (hg). Следовательно, та сила, которая может поднять b на высоту bd, сможет поднять и h на высоту hg, а, следовательно, первое предположение о том, что с подымает b на высоту bd, — неправильно.

Таким же способом, но сокращенно, доказывается и неприемлемость допущения, противоположного первому, — что конец весов опустится, и, таким образом, теорема является доказанной. Это второе, упрощенное доказательство Дюхем считает абсолютно оригинальным и представляющим собой большой прогресс по сравнению с доказательством закона рычага в "Проблемах механики". Закончив это доказательство, автор замечает, что то же самое он говорил уже при введении понятия "gravitas secundum situm" в первой теореме, почему он и пишет, что все указанное выше является прекрасным подтверждением того, что там было сказано, и, наоборот, если действительно глубоко понять то, что там было сказано, то доказательство данной теоремы можно получить и еще более простым путем.

Действительно, если мы возьмем (рис. 18) тот же неравноплечий рычаг bас, на неравных плечах которого помещены неравные веса и подвесим на расстоянии da от точки опоры, равном са (da=ca), вес d, равный b (b=d), тогда вес b относиться к весу d, как радиусы проходимых ими дуг — по первой теореме; но b равно d, поэтому из условия b/c=ca/ba получаем d/c=ca/ba, а ca равно da, отсюда получаем d/c=da/ba или c/d=ba/da, а из сравнения пропорций b/a=ba/da и c/d=ba/da следует, по девятой главе пятой книги Евклида, что веса b и с, будучи помещены по условию, весят одинаково.

В доказательстве этого автор делает как раз ту основную ошибку, против которой он столько раз предупреждает читателя, принимая величины b и d иногда как естественные веса, иногда же как веса "по положению" и путая эти, по его же теории, разные величины. Так, в первой пропорции он принимает веса b и d неравными, ибо рассматривает их "по положению", во второй же он заменяет вес b равным ему естественно весом d, а затем сравнивает эти пропорции. Но именно эти ошибки и, с другой стороны, небольшие размеры данного доказательства делают его особенно характерным для всего метода рассматриваемого нами второго варианта трактата Иордана. Не отрываясь еще ни в какой мере от основной базы аристотелевых формулировок основных законов движения и, так же как в первом варианте, стараясь вывести всю механику из закона естественного движения, автор, в отличие от первого варианта, старается не принять ни одной аксиомы, а доказать все, о чем он говорит.
При этом в качестве идеала доказательства он принимает сочинения Евклида и Архимеда, которым и старается подражать и которые на каждом шагу цитирует. Но так как вся структура этих сочинений ему глубоко чужда, он повторяет только внешний геометрический облик произведений, которым он хочет подражать, упрощает геометрические доказательства, вносит в них элемент алгебраизирования, столь ярко выраженный в более органически понятных ему работах арабов по механике, и элемент наглядного примера, столь свойственный ранней феодальной механике.

Второй вариант трактата Неморария — произведение слабое, компилятивное, нестройное, но в то же время обнаруживающее, что феодальная наука впитала в себя все наследие предыдущих эпох, что она постепенно перерабатывала его, создавая нечто свое. Это свое механика западного феодализма обнаруживает и в критике многих положений механики античности, и в образовании новых понятий и представлений; например, в постоянных оговорках о связи веса с плечом можно усмотреть почти полное понимание момента силы по отношению к точке, а в упоминании отношений между силой и сопротивлением в первой теореме и во всем (наиболее неясном) доказательстве восьмой теоремы можно увидеть (и Вайлати и Дюхем действительно это замечают) эмбрион начала возможных перемещений. Но полагать (как это сделано в названных и, вслед за ними, в ряде других исследований), что средневековая западная механика действительно имела в своем арсенале и момент силы и начало возможных перемещений, было бы совершенно не оправданной модернизацией. Средневековая механика переработала механические идеи, созданные другими историческими образованиями, подгоняя их к мироощущению и миропониманию своего времени; при этом, так как социально-политическая структура западного феодального общества была более сложна и генетически более близка к капиталистическому обществу, она в процессе этой переработки научного наследия натыкалась на ряд понятий и представлений, затем вошедших в фонд новой науки. Но, будучи именно по самой сути своей социально-политической структуры глубоко чуждой всякой связи с технической практикой, являясь чисто умозрительной дисциплиной, она еще в большей степени, чем античная наука, была абсолютно лишена критерия истинности формулируемых ею понятий и представлений, лишена того пробного камня, который позволил бы ей отобрать все действительно ценное из ее собственных рассуждений и построить из него новую систему. Связь ее с практикой была поэтому более слабой, чем связь классической античной науки. Последняя, не стремясь дать что-нибудь полезное для техники, все же пыталась включить ее в число основных, подлежащих осмыслению объектов; средневековая наука не делала и этого, ограничиваясь рассмотрением явлений, уже попавших в обиход науки, рассуждая о книгах, а не о реальной жизни.

Если во втором варианте трактата Иордана Неморария с особой яркостью выступают только что отмеченные характерные черты средневековой науки, то в третьем варианте этого же трактата — произведении более сложном и совершенном - они присутствуют не в меньшей мере, хотя, быть может, и не так легко обнаружимы.

Третий вариант трактата Неморария, как и оба предыдущих, возник, несомненно, в XIII в., поскольку лучшие рукописи его восходят к этому времени. Впервые подробно изучивший и изложивший его Дюхем, как мы уже отмечали, счел его столь глубоко отличным от первых двух рассмотренных нами вариантов, настолько более совершенным, что приписал его никому не известному выдающемуся ученому XIII в., которого он назвал "предшественником Леонардо да Винчи". Предположение это мы, вслед за Марколонго, считаем ни на чем не основанным и рассматриваем третий трактат как один из вариантов широко распространенного трактата "De pontleribus". При этом наиболее вероятно, что основным является рассмотренный нами первый, чисто перипатетический текст.

Этот вариант был издан из рукописного наследия знаменитого математика Николая Тартальи в 1565 г. венецианским издателем Курцием Тройаном. Дюхем считает ошибочным мнение, что Тарталья сколько-нибудь переделал первоначальный текст: за исключением громадного числа опечаток и совершенно испорченных в печатном тексте чертежей, последний полностью повторяет текст, даваемый лучшими рукописями XIII в. Однако, ввиду указанных опечаток и ошибок в рисунках, текст печатного издания во многих местах оказывается столь серьезно искаженным, что для понимания его нам приходилось обращаться к тем, к счастью — довольно обширным, отрывкам из рукописей, которые приводят Дюхем и другие исследователи Дюхем. Origines, pp. 134—147; Марколонго. La Meccanica, pp. 12—24; Шустер. Die Mechanik, pp. 30—31.

Уже самое начало трактата подтверждает принятую нами точку зрения и показывает, что мы имеем дело не с чем иным, как с вариантом трактата "De ponderibus". Начинается он с почти буквальной передачи тех семи аксиом, которые были сформулированы в конце предисловия перипатетического варианта. За аксиомами следуют 33 теоремы, в рукописях разделенные на четыре книги; в печатном тексте это разделение отпало. Первые пять теорем по своим формулировкам почти полностью повторяют формулировки рассмотренных вариантов, только третья теорема поставлена на месте четвертой и наоборот. Затем шестая и седьмая теоремы как неважные выпущены, а они соответствуют восьмой и девятой первых трактатов. Доказательства всех этих семи первых теорем также очень близки к рассмотренным нами доказательствам второго — геометрического — варианта, хотя иногда в них проскальзывают и нотки из доказательства перипатетического, опирающегося на аксиомы, первого варианта. Разумеется, что при наличии аксиом сложные и сбивчивые объяснения понятия "gravitas secundum situm", заключающие первую теорему второго варианта, здесь отсутствуют.

Характерно для данного варианта то, что из трех доказательств закона рычага, имевшихся в восьмой теореме второго варианта, седьмая теорема третьего сохраняет только одно второе доказательство — самое простое и основанное на перипатетическом законе приобретаемого движения, а не на законе движения естественного, т. е. доказательство, совершенно не опирающееся на аксиомы, изложенные вначале, и вообще чуждое всему строю изложения первых двух вариантов. Далее, некоторым (и притом с современной точки зрения немаловажным) отличием доказательства третьего варианта от второго является то, что во второй теореме, трактующей о равновесии равных грузов, помещенных на равных плечах, вместо полных дуг от концов весов до вертикали и горизонтали рассматриваются сколь угодно малые частицы этих дуг; возможность такого рассмотрения только мимоходом затрагивалась во втором варианте. Так (рис. 19), если второй вариант рассматривает и сравнивает между собой дуги с´с и b´b, то третий оперирует с дугами cd и b?.

Этот же, условно говоря, "инфинитезимальный" подход определяет собой и появление в третьем варианте особой оговорки (как нам кажется, неправильно понятой и истолкованной Дюхемом). Оперируя со сколь угодно малыми величинами, автор, естественно, ставит себе такой вопрос: нельзя ли подобрать такие величины b и с, чтобы разница между ними оказалась меньшей, чем разница между дугами опускания этих грузов, и чтобы, следовательно, несмотря на превосходство b, оно не опускалось, а поднималось. На этот вопрос автор самым решительным образом отвечает отрицательно, так как, по его мнению, отношение между углами bсх и bcd, определяющими кривизну опускания двух грузов с и b, est minor qualibet proportione, т. е. меньше любого отношения, т. е. меньше отношения между b и с.

Следуя в первых семи теоремах сравнительно покорно за текстом первых двух вариантов, автор начинает весьма серьезно отступать от них с восьмой теоремы. Теорема эта, близкая к неудачной седьмой теореме первых вариантов, но бесконечно более общая, содержит первую формулировку равновесия коленчатого рычага, на плечах которого, равно отстоящих от вертикали, укреплены разные грузы. Формулировка эта гласит:

"Если неравными будут плечи весов и в центре движения будут образовывать угол, причем концы их будут с обеих сторон одинаково отстоять от вертикали, то такие грузы при таком расположении будут весить одинаково" Si inaequalia fuerint brachia librae, et in centro motus angulum fecerint, si termini eorum ad directionem hinc inde aequaliter accesserint: sequalia appensa in hac dispositione aequaliter ponderabunt.
Доказательство этой весьма важной теоремы ведется следующим образом Мы пользуемся для изложения этой теоремы текстом парижских Рукописей Cod. lat. 8680 А и Cod. lat. 7378 А, опубликованных Шустером, и отрывками Codex Reginensis lat., 1261, опубликованными Марколонго, привлекая печатный текст лишь для проверки — настолько он искажен и испорчен.

Пусть (рис. 20) мы имеем коленчатый рычаг CAB, плечо которого СВ короче правого плеча СА и расстояние концов этих плеч, точек В и А, от вертикали СEG, т. е. отрезки BE и GA равны. Требуется доказать, что при этом рычаг будет находиться в равновесии, если на концах А и В будут подвешены равные грузы. Построим из точки С как центра две окружности радиусами СВ и СА; пересечения их с продолжениями прямых BE и AG будут находиться в точках Z и К. Затем отложим C´G=СЕ и из С´ проведем окружность, равную BZ, радиусом СB=С´А. Затем на дуге большего радиуса АК отложим по обе стороны от А равные отрезки АХ и AL, на дуге BZ — равные первым и подобные (сказано equales atque similes; очевидно, имеется в виду: соответствующие тем же углам) отрезки ВМ и ВН и, наконец, на дуге меньшего радиуса АК отложим равные им же отрезки AY и AF, каковые пунктирными линиями соединим с С1. Теперь предположим, что наше утверждение неправильно и что А тяжелее, чем В, и пусть А опустится до Х и В соответственно поднимется на тот же угол до М. Соединим прямыми MZ, KFL и KXY и опустим из М перпендикуляр МР на горизонталь ZB и из F и Х перпендикуляры FD и XT на горизонталь КА. Из равенства треугольников ZMP и KFD вытекает, что МР равно FD; из подобия же треугольников КТХ и KFD получаем, что FD больше XT, а, следовательно, и МР больше XT. Между тем МР есть высота, на которую поднимается В; в предположении, что весы при равных грузах не будут находиться в равновесии и А перетянет, а ТХ — высота, на которую опустится при том же положении А, мы получаем, что из двух равных грузов один поднимает конец рычага на большее расстояние, чем другой опускает, что невозможно. Почему именно это невозможно, трактат не говорит, но из всего контекста ясно, что имеется в виду то же положение, на котором зиждется и доказательство шестой теоремы — положение об обратной пропорциональности весов и проходимых ими расстояний, т. е. аристотелев второй закон движения — закон приобретаемого движения.

Доказательство это, вызывающее восхищение Дюхема и Марколонго и обычно считаемое первым доказательством, вполне четко содержащим в себе понятие момента силы и даже принципа возможных перемещений, кажется нам не вполне убедительным. Доказательство это было бы правильным в том случае, если бы до него была сформулирована аксиома, что при равных весах меньшее опускание не может вызвать большего подъема, обратное же возможно. Но, поскольку мы не найдем нигде даже легкого указания на эту аксиому, нам приходится полагать, что автор имел в виду именно второй перипатетический закон движения, т. е. что доказательство его ошибочно. Ошибочность эта, впрочем, не снимает ни изящества самого доказательства, ни того, что в нем действительно есть какое-то предчувствие начала возможных перемещений, но, как мы уже указывали раньше, предчувствие это было, скорее всего, случайным, и сам автор и его ближайшие научные потомки вряд ли видели здесь какой-нибудь принципиально новый путь Разбор доказательств Иордана по существу завел бы нас слишком далеко, так же как разбор по существу других трактатов, от которого мы отказались. Вопрос этот может быть темой особого исследования.

Нам представляется, что и сам автор трактата чувствовал слабость своей аргументации и предложил именно поэтому два других варианта доказательства Не имея доступа к рукописям, мы не знаем, не являются ли эти Добавочные доказательства поправкой, внесенной в текст Тартальей, почему мы и не разбираем их подробно.

Доказав, как ему кажется, частный случай равновесия коленчатого рычага, автор переходит к более общим случаям. Девятая и десятая теоремы представляют собой подход к общему решению вопроса — они трактуют о связи веса с наклоном, но которому он движется, т. е. стараются доказать то, что, собственно говоря, было постулировано вводными аксиомами. Девятая, чрезвычайно краткая и лаконическая теорема гласит: equalitas declinationis identitatis ponderis, т. е. при равном наклоне пути, по которому движется вес, величина его не изменяется в зависимости от места пути, на котором он находится. Действительно, пусть какой-нибудь груз движется (рис. 21) по наклонной прямой аb и пусть alc будет вертикаль; требуется доказать, что при движении из d в е или из е в g, при de =eg, gravilas secundum situm движущегося груза не изменяется. Опускаем из е и g перпендикуляры на ас, а из d и е перпендикуляры на eh и gl; из равенства прямоугольных треугольников dke и emg выводим равенство сторон dk и ет, а, следовательно, равные отрезки наклонной имеют равные проекции на вертикальной, eaqualiter capiunt de directo, т. е. груз на этих отрезках равно весит secundum situra.

В этом незамысловатом доказательстве мы опять встречаемся с забытыми в предыдущей теореме аксиомами о gravilas secundum situm и его зависимости от наклона. Но девятая теорема является только вводной к значительно более важной — десятой, формулируемой так: "Если два веса опускаются по двум разным наклонам и наклоны и веса их прямо пропорциональны, то силы опускания (или стремление к опусканию) обоих равны Si per diversarum obliquitatum vias duo pondera descendant fi-antque declinationum et ponderum una proportio, eadem ordine sunipta, una erit utriusque virtus in descendendo. (рис.22).

Доказательство этой важнейшей для всего последующего развития механики теоремы ведется следующим образом. Возьмем горизонтальную прямую и перпендикуляр к ней в точке b и из точки d проведем две наклонные прямые de и da; пусть de будет более наклонна, чем da, причем под наклонностью понимается длина наклонной при равной проекции на вертикаль, а не угол (majoris obliquitatis proporfcione declinationum dico non angulorum, sed line arum usque ad aequidiatantiam resecalionem, in qua aequaliter sumunfc de directo).

Пусть по наклонной dc движется груз е, а по наклонной da груз h, причем отношение весов их будет равно отношению наклонов в выше принятом смысле, т. е. e/h=dc/da. Требуется доказать, что сила падения этих грузов одинакова. Построим прямую dk по наклону, равную dc, и на ней поместим груз i, равный грузу е. Представим себе, что грузы наши е и h и е и i соединены нитью и что они не находятся в равновесии, т. е. е опустится в / и потащит h в т, причем hm=el, или же, будучи связано с i, потащит i в n, причем in=el.

Опустим из точек n и т перпендикуляры nz и тх на горизонталь ie и из точки е перпендикуляр еr на горизонталь /t. Из подобия треугольников niz, diy и dbk получаем nz/ni=dy/di=db/dk; из подобия же треугольников mhx и dab-mx/mh=db/dk; отсюда получаем mx/nz=dk/da, а так как, по условию i/h=dk/da, получаем mx/nz=i/h. Но мы знаем по предыдущей теореме, что равные веса на равных наклонах равны и что, следовательно, груз е, опускаясь на еr, не может поднять равный ему груз i на nz, а из этого и из нашей пропорции следует, что он не может поднять и вес h на расстояние тх, а следовательно наше предположение неправильно, и грузы е и h, удовлетворяющие условию e/h=dc/da, находятся в равновесии, что и требовалось доказать. И в этом доказательстве присутствует, хотя и в достаточно скрытом виде, как правильно подчеркивает Дюхем, представление об обратной пропорциональности веса и пути, т. е. перипатетический закон приобретаемого движения, и оно, как и предыдущее, не имеет никакой органической связи с аксиомами, сформулированными в предисловии к трактату, и со всем началом его вплоть до седьмой теоремы.

На седьмой теореме кончается первая книга трактата и начинается вторая, являющаяся прямым и непосредственным продолжением седьмой теоремы. Действительно, седьмая теорема, соответствующая девятой теореме первого-второго вариантов, дает первый подход к задаче весомого рычага, или к задаче римских весов. Одиннадцатая теорема, почти в точности соответствующая десятой первого-второго вариантов, дает логически следующее решение задачи, которой занимались авторы трактатов "Книга Карастуна" и "De canonio", — задачи на каком расстоянии надо подвесить на меньшем плечо неравноплечных весов данного веса данный груз, чтобы он уравновесил большее плечо. Следующие затем десять теорем второй книги трактата решают, так же как и одиннадцатая, частные задачи на разные случаи физических и геометрических весов, в которых нужно определить одну величину (длину плеча, вес) из данных других. Приведем для примера формулировку наудачу взятой восемнадцатой теоремы: "Если дано отношение длин плеч и дан груз, подвешенный на конце короткого плеча, или в каком-то другом месте его, или два груза, один в конце, а второй в другом месте, причем грузы эти поддерживают весы в равновесии, то можно определить вес самих весов" Si sectiones librae sunt ad invicem datae pondusque datum in termine brevioris. sive in sectione dependens, vel etiam duo pondera data alterum in termino, alterum in sectione appensa, regulam in aequidistantiam constituant, ipsa quoque in pondere data erit.

Все эти одиннадцать теорем совершенно однотипно сформулированы и решаются путем простейших операций над пропорциями, устанавливающими соотношение веса коромысла весов, длин его плеч и грузов, подвешенных на них; они представляют собой полную параллель к рассмотренным нами выше частным задачам на весомые весы, встречающимся в качестве продолжения основного текста во многих арабских текстах "Книги Карастуна", к которым они с большой степенью вероятности генетически и восходят.

Будучи помещены в тексте трактата, как нарочно, рядом с наиболее интересными и глубокими теоремами, имеющими, с нашей точки зрения, большое принципиальное значение, они являются не более чем математическими забавами, головоломками на механические темы, не дающими ничего ни для теории, ни для практики. Это нам кажется разительным подтверждением высказанного выше положения о чисто спекулятивном характере средневековой механики и о невозможности для нее, не опиравшейся на критерий практического опыта, отобрать ценное, даже чисто теоретически, от мелкого и случайного.

Третья книга трактата опять возвращает нас к изложению, как бы оборванному в конце первой книги, к рассмотрению коленчатого рычага и наклонной плоскости. Но теоремы третьей книги подходят к этому вопросу несколько иначе, да к тому же в имеющемся в нашем распоряжении издании Курция Трояна столь радикально искажены, что разобраться в них почти невозможно. Впрочем, и рукописный текст этих теорем, по-видимому, не слишком ясен, так как ни Дюхем, ни Марколонго не дают изложения этих доказательств. Попытаемся все же восстановить хотя бы основные линии этих доказательств.

Первая теорема, по существу, по-видимому, основная (в печатном тексте это questio 23), подходит к задаче коленчатого рычага как будто с совсем новой стороны: она устанавливает, что если на стержне, вращающемся вокруг центра, помещенного На перпендикуляре к этому стержню, в любом месте будет висеть любой вес, то вес этот не сможет повернуть этот стержень и вертикальное положение, или, что то же самое, этот вес не сможет достигнуть вертикали, проходящей через центр вращения. Si supra regulam in perpendiculo contra motus posito quantumlibet pondus utralibet parte dependeat, non erit possibile illud usque ad directum oentri descendere.

Решение этой, как будто частной задачи приводит автора вплотную к формулировке условия равновесия коленчатого рычага. Рассуждает он так.

Мы имеем (рис. 23) находящийся в равновесии стержень abc, вращающийся вокруг точки d, и db — перпендикуляр из этой точки на abc. Теперь предположим, что а тяжелее, чем с, и что под действием а стержень обе наклонится.

Продолжим ad до точки е, отвечающей условию, что de/da=a/c, и поместим в точке е груз, равный с. Тогда для равновесия условно рассматриваемого нами коленчатого рычага edc, на концах которого укреплены равные грузы, необходимо, чтобы вес е так же отстоял от вертикали, как от нее отстоит с, а так как а находится на тон же прямой, что и е, то оно хотя и будет находиться ближе к его вертикали, но все же никогда не совпадет с ней. В приведенном выше доказательстве, с возможной точностью передающем содержание чрезвычайно неясного и, по-видимому, испорченного текста, многое не договорено и непонятно; так, неясно, зачем введена пропорция, непонятно, почему, собственно, а не может достичь db, но основной ход мысли и характер доказательства вполне ясны. Как во второй книге мы имеем ряд частных задач на прямолинейный рычаг, так и здесь имеется частная задача на рычаг коленчатый, задача, свидетельствующая о том, что понятие о моменте сил, т. е. о произведении величины силы на ее расстояние от вертикальной оси, уже вполне освоено автором трактата или, вернее, автором данной его части и что доказательство связанных с этим понятием положений ведется геометрически-алгебраическим путем, особенно ярко проявившимся в последних теоремах первой книги.

Следующие три теоремы (24-я, 25 и 26-я печатного издания) также представляют собой частные задачи на прямолинейный, подвешенный вне своей оси стержень, сводимый к рычагу коленчатому. Так, вторая теорема (24-я) гласит: "Если известно расстояние центра от середины стержня и длина последнего, а также веса, укрепленные на его концах, и вес самого стержня, то можно определить наклон стержня".

Третья теорема (25-я) доказывает, что если центр вращения стержня будет расположен под его осью, то равновесие его будет неустойчивым. Четвертая (26-я) теорема, наиболее непонятная в данной связи, утверждает, что если к находящемуся в равновесии стержню на равных расстояниях по обе стороны оси подвесить любые равные Грузы, то он останется в равновесии. Как сказано ужо, все эти теоремы доказываются путем сведения задания к коленчатому рычагу и являются как бы упражнениями на применение основной теоремы, доказанной в первой книге.

Таким же упражнением, но только несколько более развернутым и более принципиально важным является и пятая теорема третьей книги (27-я печатного издания). Формулировка этой теоремы такова:

"При поднятии любого весомого тела из горизонтального в вертикальное положение, зная длину опоры, можно определить вес (конечно, "secundum situm") поднимаемого тела" Quodlibet ponderoso ab aequalitate ad directionem elevato secundum mensuram snbstinentis in omni positione pondus ipsius determinari est possibile.

Доказательство этой теоремы сравнительно длинно и обстоятельно, но, как увидим ниже, оно оказало особенно сильное влияние на Леонардо да Винчи; кроме того, оно не было разобрано ни одним из исследователей. Поэтому мы передадим его ход, по возможности сокращая отдельные детали: Мы считаем необходимым обратить внимание на то, что как самое доказательство, так и сопровождающий его рисунок нам понятны далеко не полностью. Приводим же мы его ввиду чрезвычайной характерности хода мысли автора. .

Пусть мы имеем (рис. 24.) весомое тело ab, равномерное по толщине и по весу, и пусть конец b его будет шарнирно укреплен, а конец а поднимается наверх до вертикального положения bc. При этом конец а будет описывать четверть окружности ее. Разделим дугу ас пополам и получим точку d; при нахождении в ней конца а тело находится в среднем положении между горизонталью и вертикалью.

На нижней половине дуги ас возьмем некоторую точку е, при нахождении в которой конца а он будет подперт длинен перпендикуляра из точки е на ab, т. е. el. На верхней половине дуги ab возьмем точку f, причем df=fc, и пусть fr — длина опоры его. Груз а, поднимаясь по дуге ас от а к с, делается постепенно более легким — "secundum situm". Почему, — здесь не объясняется, но, очевидно, по четвертой и пятой аксиомам, выставленным в предисловии. Конец а, находясь в е, будет весить столько же, как и находясь на радиусе db, но в точке h, являющейся точкой пересечения db, с горизонталью из е, так как hg=el. Если окажется теперь, что g будет находиться в середине ab, тогда опора hg будет поддерживать вес, равный ab, ибо так как угол abd равен 45°, то hg=gb и вес bd в d будет относиться к весу bа в а, как bk/ ba, а вес bd в d к весу того же bd в h, как bg/bk, и, следовательно, bg/bk=bk/ba. Если же g будет находиться ближе к b, то в h будет находиться вес больший, чем в a, и если ближе к а — вес меньший, чем в а, а из этого заключаем, что а может быть меньше, больше или равно величинам е или d в зависимости от величины el, т. е. подпора, и ее соотношения с величиной ab. Если мы теперь возьмем положение bf и точку n — пересечения ее с горизонталью из е — и опустим из f перпендикуляры fx на ось bc и fr на ось bа, то получим, что xb/pb. Кроме того, вес fb в n так относится к весу fb в f, как fb/nb или как fb/mb, а так как xb/pb=rb/mb (по подобию треугольников), то, следовательно, вес еb так относится к весу fb, как вес fb в n к его же весу в f. Следовательно, eb в е весит столько же, сколько fb в n. Ни Дюхем ни Марколонго не разобрали сколько-нибудь подробно этой теоремы, но оба считали, что она является доказательством условия равновесия коленчатого рычага. Однако уже приведенное выше показывает, что это вряд ли правильно. Условия равновесия коленчатого рычага, или (условно выражаясь) понятие момента — обратная пропорциональность грузов и их расстояний до вертикальной оси, скорее предполагаются известными, чем доказываются в данной теореме, задача которой как будто заключается в том, чтобы показать, какая часть веса наклонного стержня находится в его верхнем, подпертом конце, что правильно отметил подробно изложивший теорему Шустер. Задача эта разбирается весьма запутанно и сбивчиво и не получает общего решения, да и формулировка теоремы требует только доказательства того, что вес при любом наклоне может быть определен.

Однако, как вполне справедливо и притом очень тонко отметил Шустер, уже в пропорции, вводимой автором в качестве само собой разумеющейся и не требующей особого доказательства, - пропорции bk/ba, содержится вполне правильное определение нормальной к направлению балки реакции верхней опоры, так как из этой пропорции получаем вес в d = вес ва. bk/db=вес в a. ba/2. cos ? (где ? — угол, образуемый направлением балки с горизонталью), что вполне правильно. Однако это правильное соотношение, которое, казалось бы и должно было служить целью доказательства, удивительнейшим образом принимается как известное и служит базой для сложных и довольно бесполезных размышлений, не приводящих к окончательному выводу.

Но и в такой постановке вопроса самый факт его возникновения исключительно важен и интересен. Представляя собой, невидимому, не более как один из вариантов возможных и весьма разнообразных задач на закон рычага, задач, решавшихся в XIII в. для гимнастики ума и для абстрактного познания абстрактной истины, он в то же время вплотную подводит к новым результатам, могущим при другой общей постановке вопроса оказаться не только теоретически интересными, но и практически применимыми; но дальше подведения вплотную, и притом подведения, хотя и систематического, но все же случайного, дело не идет. Предполагать, что мы имеем уже в данной теореме следы каких-то практических, технических запросов, было бы совершенно неправильно, — слишком резко противоречит этому и весь склад трактата, и особенно самая формулировка теоремы. Что же касается доказательства ее, то оно ведется тем же геометрически-алгебраическим методом, в котором выдержаны все теоремы третьей книги и последние теоремы первой книги трактата, с применением, хотя и случайным и невыдержанным, понятия "gravitas secundum situm".

Последняя теорема третьей книги (28-й в печатном издании) дает, невидимому (она весьма сжата и сформулирована неясно), опять-таки решение одной частной задачи на теорию рычага, задачи, напоминающей первые теоремы второй книги, но применяемой не к весомому прямолинейному рычагу с подвешенным грузом, а к весомому стержню без подвешенных грузов. Текст ее таков: Pondus non in medio descendens (в рукописи — dependens) breviorem partem secundum proportionem longioris ad ipsam gravitatem redditur (в рукописи — graviorem facit). "Вес, подвешенный не в середине (очевидно, весов), делает тяжелее более короткую часть, согласно отношению более длинной части к ней (т. е. к короткой)".

Теорема (если принять за правильный рукописный текст, а печатный счесть испорченным, что доказано по отношению ко многим местам в нем) оперирует со следующим уравнением для неравно плечного стержня abc (рис. 25): т. е. определяет больший вес, если даны меньший и длины плеч. Доказательство этой теоремы настолько испорчено в печатном тексте, что восстановить его невозможно. Но, независимо от этого, мы в данной теореме имеем то же, что и в предыдущих: решение частного случая, не поднимающееся до общей формулировки, но довольно близко подходящее к понятию момента плечо.

На теореме 28-й кончается третья книга трактата, и изложение его опять обрывается, переходя совсем к другим сюжетам и методам доказательства. Четвертая книга целиком посвящена перипатетическим основам механики. Не формулируя ни одного из законов движения, данных в "Физике" Аристотеля, она дает как бы комментарий к отдельным элементам этих законов и разбирает их составные части, причем разбирает чрезвычайно нестройно, давая им отдельные объяснения, не складывающиеся в цельную систему.

Основными достоинствами аристотелева учения о движении, которым оно обязано своим многовековым существованием, были простота и стройность системы, основанной на немногих простейших пропорциональностях. Пропорциональности эти легли, как мы видели выше, в основу механических построений, разбиравшихся нашим трактатом. Но, по традиции, опираясь во всех или почти всех своих доказательствах на аристотелевы формулировки и на понятие "gravitas secundum situm", - непосредственно из них вытекающее, автор трактата уже настолько привык к более сложным формам физического мышления, что грубо упрощенные перипатетические формулировки его теперь не удовлетворяют. Он начинает разлагать их на составные части, внимательно рассматривать каждую, пытается доказать и обосновать ее, а, следовательно, предполагает возможным и несогласие с ней, чем подрубает тот сук, на котором держится все его учение. Действительно, если при рассмотрении отдельных элементов перипатетических основ механики один или несколько элементов окажутся опровергнутыми, то под все здание придется подводить новый фундамент. Само собой разумеется, что автор нашего трактата этого совершенно не сознает. Он только ясно чувствует недоказанность основных положений аристотелевой механики, составляющих неотъемлемую часть взращенной на другой исторической почве идеологической системы, и пытается дать им доказательства, соответствующие тому критерию научности, который выставила современная ему действительность, радикально отличная от античной.

Доказательства 15 теорем этой четвертой книги не были разобраны ни одним из исследователей, считавших их неважным дополнением к важной работе. Это мнение, однако, вряд ли правильно. Именно в критике, во внимательном и детальном разборе перипатетических основ механики, лежал ключ к ее дальнейшему радикальному развитию, что, очевидно, инстинктивно чувствовал автор, присоединивший, правда довольно внешне и неорганично, свои последние 15 теорем к изложению, принимающему эти основы на веру.

Формулировки теорем весьма кратки и лаконичны. Первые девять из них рассматривают различные стороны воздействия среды на движение весомых предметов, движение как естественное, так и приобретаемое. Так, первая теорема этой группы гласит: "Всякая среда затрудняет движение (omne medium impedit motum)"; вторая — "Чем тяжелее среда, через которую тело проходит, тем труднее опускание (quo ponderosius est pro quod fit transitus, eo in transiundo difficilior fit descen-sus)"; третья — "To, что более плотно, больше поддерживает (quod majus coheret, plus substinet)" и т. д.

В связи со средой излагаются вопросы падения тел разной формы и вопросы ускорения, в этой же связи рассматривавшиеся, как мы упоминали, и Аристотелем. Наиболее важны и интересны здесь теоремы шестая, седьмая и восьмая, которые мы и рассмотрим в качестве образцов. Шестая теорема (в печатном издании 34-я) гласит: "Чем больше опускается предмет и чем он тяжелее, тем более быстрым делается его опускание (res gravior quo amplius descendit eo fit descendendo velocior)".

Доказательство же ее (если это можно назвать доказательством) таково: доказано, что более плотная среда сильнее действует на движение; весомое же тело, опускаясь, тянет за собой верхние слои среды и толкает нижние, вследствие чего в среде распространяется движение, и она меньше препятствует ему, поэтому движущееся тело становится более тяжелым и еще более усиливает то же действие. Так, получается, что тяжесть его, вследствие воздействия верхних слоев, усиливается, и движение его увеличивается этой тяжестью, почему и скорость его должна непрерывно увеличиваться Sicque fit ut illius gravitas tractu illorum (верхних слоев) Sdiuvantur et motus eorum gravitate ipsius augeatur, unde et velbcitatem illius continue multiplicare constat.

Еще более коротко доказательство следующей, седьмой (35-й) теоремы: "Форма весомого тела изменяет силу веса" (forma ponderosi mutat virtutem ponderis)".

Доказательство это буквально следующее: "Ибо если оно остро и тонко, оно легче проходит и потому, можно сказать, легче разделяет (среду) и делается более легким, испытывает меньшее сопротивление и потому летит скорее, чем, если бы оно было тупым".

В таком же духе выдержано и доказательство восьмой (36-й) теоремы. Приведем ее целиком: "Если что-нибудь движется под действием импульса, то ясно, что оно гонимо; если же оно опускается под действием собственного движения (естественно), то, чем больше оно движется, там становится быстрее; поэтому оно становится тяжелее и, следовательно, тем больше гонит движение по сравнению с тем, что было бы без движения, и чем дольше движется, тем больше" Omne motum plus movet — si quid ex implusi moveatur, certuro est quod impelletur si autem motu proprio descendat, quo plus movetur, velocius fit, et eo ponderosius ad quae plus impellit motum, quam sine inotu, et quo plus movetur, eo amplius. Последние пять теорем трактата посвящены разным частным и случайным вопросам вроде того, что "сила, толкающая тело, увеличивается от кружения его" (11—39), или: "то, что укреплено в середине, легче сгибается с краев". Наиболее интересны здесь последние две, гласящие: "более ударенное более плотно" (14—42) и "то, что имеет связанные между собой части, будучи ударено прямым движением, отскакивает по прямой линии". Длинное и достаточно запутанное доказательство последней теоремы основано на разобранных уже нами свойствах сопротивления среды и распространения движения в этой среде.

Даже столь сжатое рассмотрение четвертой книги третьего варианта трактата Иордана показывает нам с полной ясностью и несомненностью, как внимательно и пристально рассматривались отдельные элементы основных положений учения о движении, сформулированных Аристотелем и неоднократно подвергавшихся затем толкованиям и критике со стороны комментаторов (вспомним Филопона), но все же оставшихся в своих основных чертах незыблемыми. С другой стороны, мы в самом этом внимательном рассмотрении должны констатировать отсутствие какой бы то ни было единой системы — беспорядочный эклектизм, свидетельствующий о том, что автор, чувствуя необходимость пересмотра перипатетических основ механики, еще не ясно видит позиции, с которых эта переработка должна вестись. Действительно, утверждая в шестой (34-й) теореме, что ускорение свободно падающего тела должно быть объяснено, усиливающимся разрезыванием и давлением среды, он, несколько видоизменяя его, переносит на естественное движение то объяснение, которое Аристотель давал движению приобретаемому (передача движения через постепенно приходящие в движение слои воздуха). В восьмой же (36-й) теореме, утверждающей, что каждое движение увеличивает движение, уже существующее, автор как будто бы определенно становится на точку зрения выдвинутой Иоанном Филопоном теории "импето" — ускорения движения, вызываемого самим движением. Вся эта последняя часть трактата свидетельствует о том, что настало время систематического пересмотра самых основ механики. Действительно, как мы увидим ниже, этот пересмотр является одной из наиболее распространенных тем, разрабатываемых физически- философской мыслью позднего феодализма, чем подготавливается почва для радикальной перестройки всего здания механики.

Однако, прежде чем рассмотреть эту критику, мы попытаемся дать краткую характеристику рассмотренных нами трех вариантов трактата, приписываемого Иордану Неморарию. Первый, наиболее стройный и монолитный, представляет собой попытку вывести всю механику из нескольких аксиом, базирующихся исключительно на данном Аристотелем законе естественного движения; по методу доказательств он носит физическо-философский характер. Второй, значительно более эклектичный и нестройный, старается вообще отказаться от аксиом, Доказать все, кроме, конечно, основных законов движения, причем, основываясь, как и первый, главным образом на законе естественного движения, он иногда использует и закон движения приобретаемого. Доказательство этого варианта носит подчеркнуто геометрический характер. Наконец, третий вариант наиболее эклектичен и составлен из наиболее разнородных частей. Начинаясь с аксиом, базирующихся на законе естественного движения, он затем переходит к доказательствам, совершенно (или почти совершенно) с этими аксиомами не связанным, доказательствам иногда блестящим, но совершенно выпадающим из построения. Решая ряд чрезвычайно разнокалиберных частных задач, он завершается попыткой пересмотра лежащего в основе его учения о движении. Метод доказательства его в основном алгебраическо- геометрический.

Все эти три варианта как своими общими чертами, так и различиями дают возможность познакомиться с различными путями, по которым шло в средние века освоение античного и арабского механического наследия; каждый из этих путей по-своему перерабатывает это наследие, либо, пытаясь выстроить из его материала новую стройную систему, либо, наоборот, разрабатывая отдельные элементы его, приходящие в результате в резкие противоречия друг с другом. Последний путь, более трудный, изобилующий разного рода лабиринтами и ловушками, был, конечно, более прогрессивным, обещающим большее будущее.

К сожалению, мы, при современном состоянии науки, не можем определить, каков был исторический субстрат этих разных направлений в феодальной механике. Мы можем только высказать ничем не подкрепленное предположение о том, что первое, условно выражаясь — конструктивное, направление было выражением чаяний и идеалов более консервативных, более строго феодальных слоев университетской и монастырской науки. Направление же критически-разрушительное было выражением идеологии передовых университетских кругов, связанных с начинающими формироваться в крупных городах раннебуржуазными элементами. Правильна ли эта гипотеза или нет, должно будет показать дальнейшее изучение вопрос но, во всяком случае, неоспоримо то, что в каких-то слоях средневековой европейской науки уже с XIII в. началась критик самих основ античной науки, и в частности механики. Само собой разумеется, что, поскольку основы эти были наиболее полно и выпукло сформулированы Аристотелем, критика эта должна была начаться и действительно началась с изучения и комментирования его "Физики" и "О небе", в которых эти основы были наиболее четко сформулированы.

< Предыдущая		Следующая >